Matematika, Teknologi
Nov24

Mengaplikasikan Induksi Matematika Pada ATM

0 komentar

Ketika sedang menghapus file-file yang dirasa tidak penting dalam komputer, tiba-tiba kami menemukan artikel yang sangat menarik, kami sampai lupa tentang siapa yang menulis artikel ini, untuk yang merasa menulis artikel ini, silahkan berikan komentarnya di kolom komentar di bawah ini, kami akan mencantumkan namanya menjadi penulis artikel ini, mari kita simak artikelnya.

mengaplikasikan-induksi-matematika-pada-atm

Di dalam matematika sebuah pernyataan tidak hanya di tulis. Kita juga harus mengerti apa yang menyebabkan pernyataan tersebut benar, yaitu bukti. Metode pembuktian tersebut di sebut dengan induksi matematika. Misalkan dalam bilangan bulat, melalui induksi matematika kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan cara yang tidak terlalu rumit.

Dalam sejarah, induksi matematika berawal pada akhir abad ke-19. Matematikawan yang mempelopori induksi matematika adalah R. Dedekind dan G. Peano. Deekind mengembangkan sekumpulan aksioma yang menggambarkan bilangan bulat positif. Peano memperbaiki aksioma tersebut dan memberikannya interpretasi logis.keseluruhan aksioma tersebut dinamakan Postulat peano.

Selain dapat digunakan dalam bidang ilmu matematika induksi matematika dapat di terapkan dalam kehidupan sehari-hari diantaranya adalah penerapan induksi matematika dalam ATM multi pecahan uang.

Pada umumnya, ATM itu hanya memiliki satu nominal uang saja. Karena logikanya ATM hanya memiliki satu cardritge uang, artinya mesin ATM hanya bisa berisi satu nominal uang saja misal  RP. 20.000,- dan RP. 50.000,- atau RP. 100.000,- dengan begitu mesin ATM tidak menghitung jumlah nominal yang ingin di tarik tapi di sesuaikan dengan pecahan uang yang ada di cartridge harus dikeluarkan sebanyak berapa lembar agar uang yang di tarik tercukupi. Misalnya, seseorang ingin mengambil uang RP. 100.000,- maka hanya akan ada tiga kemungkinan yaitu:

  1. Jika nominal uang yang tersedia di dalam ATM adalah RP. 20.000,- maka mesin cartridge akan diperintahkan menghitung dan mesin ATM akan mengeluarkan lima lembar uang.
  2. Jika nominal uang yang tersedia di dalam ATM adalah RP. 50.000,- maka mesin cartridge akan diperintahkan menghitung dan mesin ATM akan mengeluarkan dua lembar uang.
  3. Jika nominal uang yang tersedia di dalam mesin ATM adalah RP. 100.000,- maka mesin cartridge akan diperintahkan menghitung dan mesin ATM akan mengeluarkan satu lembar uang.

Nah, sekarang kita akan membahas penerapan induksi matematika terhadap mesin ATM multi nominal sebenarnya adalah prinsip induksi yang di rampatkan (prinsip pertama) pada proses penghitungan uang yang akan di keluarkan dari cartridge penyimpanan uang.

Yang di maksud prinsip induksi bilangan adalah misal kadang-kadang kita ingin membuktikan bahwa pernyataan p(n) benar untuk semua bilangan bulat ≥ n0, jadi tidak hanya bilangan bulat yang di mulai dari 1 saja. Prinsip induksi sederhana dapat dirampatkan (generalized) untuk menunjukkan hal ini sebagai berikut:

Misalkan p(n) adalah pernyataan tentang bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

  1. P(n0) benar, dan
  2. Jika p(n) benar maka p(n+1) benar untuk setiap n ≥ n0

Sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0

Ada beberapa ketentuan dalam pengambilan uang di ATM multi nominal ini, beberapa ketentuan tersebut adalah sebgai berikut:

  1. Jumlah minimal penarikan
  2. Jumlah kelipatan penarikan dari jumlah minimalnya
  3. Pecahan uang berapa yang ada dalam Atm tersebut

Cara perhitungannya adalah:

misalnya:

Dalam satu ATM terdapat pecahan uang Rp. 50.000,- dan Rp. 20.000,- berapakah jumlah kelipatan yang dapat diambil melalui ATM tersebut adalah Rp. 40.000,-?

Penyelesaian:

Basis induksi: untuk mengeluarkan uang dengan jumlah Rp. 40.000,- dapat digunakan 2 lembar uang Rp. 20.000,- . f(n0) adalah benar

Karena berlaku: Jika f(n) benar maka ditunjukan f(n+k) juga benar untuk semua bilangan bulat n≥n0. (k adalah kelipatan pengambilan uang di ATM)

Langkah induksi: jika f(n) benar, yaitu untuk mengeluarkan uang dengan jumlah Rp 40.000,- dapat digunakan lembar uang Rp. 20.000,- (hipotesis induksi). Kita harus menunjukan bahwa f(n+k) juga benar, yaitu untuk mengeluarkan uang sebesar n+k juga dapat menggunakan pecahan uang Rp. 20.000,-dan/atau Rp. 50.000,-

Maka ada dua kemungkinan:

Kemungkinan pertama, misalkan tidak ada uang pecahan Rp. 50.000,- yang dikeluarkan senilai Rp. n,- menggunakan pecahan Rp. 20.000,- semuanya. Karena n ≥ Rp. 40.000,-, setidaknya harus di gunakan dua lembar pecahan Rp. 20.000,-. Dengan mengganti dua lembar uang Rp. 20.000,- dengan selembar uang Rp. 50.000,-,akan menjadikan uang yang dikeluarkan ATM sebesar Rp n+k,- dengan k senilai Rp. 10.000,-

Kemungkinan kedua, contohnya ATM mengeluarkan uang senilai Rp. n,- dengan sedikitnya satu lembar ecahan Rp. 50.000,-. Dengan mengganti satu lembar pecahan Rp. 50.000,- dengan satu lembar pecahan Rp. 50.000 dengan tiga lembar pecahan uang Rp. 20.000,- akan menjadikan uang yang dikeluarkan ATM sebesar RP. n+k,- dengan k senilai Rp. 10.000,-

Dari urain di atas, dapat diketahui bahwa nilai k (kelipatan) uang yang dapat diambil dari ATM tersebut, dengan minimal jumlah pengambilan Rp. 40.000,- adalah sebesar Rp. 10.000,-

Contoh dalam soal

Sebuah ATM (anjungan tunai mandiri) hanya menyediakan pecahan uang Rp. 20.000,- dan Rp. 50.000,-. Kelipatan uang berapakah yang dapat dikeluarkan oleh ATM tersebut? Buktikan dengan menggunakan induksi matematika

Penyelesaian:

Dengan pecahan uang Rp. 20.000,-,ATM dapat mengeluarkan uang untuk penarikan Rp. 20.000,-, Rp. 40.000,-, Rp. 60.000,-,………, sedangkan dengan pecahan uang Rp. 50.000,- ATM dapat mengeluarkan untuk penarikan Rp. 50.000,-, Rp. 100.000,-,………, dari kedua kombinasi pecahan uang tersebut kita dapat menyimpulkan bahwa ATM dapat mengeluarkan uang senilai Rp. 10.000,- atau dengan kata lain mengeluarkan uang senilai 10.000n rupiah untuk n ≥ 4 (perhatikanlah bahwa kita tidak dapat menggunakan basis n=2 sebab ia tidak dapat digunakan pada langkah induksi).

Misalkan p(n) adalah pernyataan bahwa ATM dapat mengeluarkan uang senilai 10.000n rupiah untuk n ≥ 4 dengan pecahan Rp. 20.000,- dan Rp. 50.000,-. Kita akan membuktikan bahwa p(n) dengan induksi matematika.

  1. Basis induksi: p(4) benar, karena ATM dapat mengeluarkan uang senilai Rp. 40.000 dengan dua buah pecahan Rp. 20.000,-
  2. Langkah induksi: andaikan p(n) benar, yaitu asumsikan bahwa ATM dapat mengeluarkan uang senilai 10.000n rupiah dengan pecahan Rp. 20.000,- dan Rp. 50.000,-. Kita harus menunjukkan bahwa p(n+1) benar, yaitu ATM juga dapat mengeluarkan uang senilai 10.000 (n+1) rupiah dengan menggunakan pecahan Rp. 20.000,- dan Rp. 50.000,-.maka akan ada dua kemungkinan yang harus di pastikan:
  3. Jika untuk uang senilai 10.000n rupiah ATM menggunakan minimal 1 buah pecahan Rp. 50.000,-, maka dengan mengganti 1 pecahan Rp. 50.000,- dengan 3 buah pecahan Rp. 20.000,- maka ATM selalu dapat mengeluarkan uang senilai 10.000(n+1) rupiah.
  4. Jika untuk uang senilai 10.000n rupiah ATM menggunakan pecahan Rp. 20.000,-, maka paling sedikit digunakan 2 buah pecahan Rp. 20.000,- (sebab n ≥ 4). Dengan mengganti 2 buah pecahan Rp. 20.000,- dengan 1 buah pecahan Rp. 50.000,-, maka ATM selalu dapat mengeluarkan uang senilai 10.000(n+1) rupiah.

Karena langkah 1 dan 2 sudah diperlihatkan benar, maka terbukti bahwa ATM dapat mengeluarkan uang senilai 10.000n rupiah untuk n ≥ 4 dengan pecahan Rp. 20.000,- dan Rp. 50.000,-

Semoga artikel ini bisa bermanfaaat untuk sahabat semua, angan lupa berika komentar sahabat pada kolom komentar di bawah ini. Tag:

Penulis: 

author

Posting terkait "Mengaplikasikan Induksi Matematika Pada ATM"

Tinggalkan pesan "Mengaplikasikan Induksi Matematika Pada ATM"